Existence and Uniqueness of Equilibrium for a Spatial Model of Social Interactions

本稿論文では、Beckmannの社会的相互作用の空間モデルを、さまざまな効用関数、アクセス･コスト、および空間依存的なアメニティを許容する2次元の空間経済に拡張する。我々は、空間均衡はポテンシャル汎関数から派生することを示す。汎関数を最小にする解の存在を証明することにより、空間均衡の汎関数を導き出す。経済の基本的要素についての緩い条件下では、汎関数は、最適輸送理論にて用いられる概念である変位凸性を満たすことを立証する。このことは、空間均衡の変分特性を付与し、さらに、汎関数の厳密な変位凸性は空間均衡の一意性を保証する。同時に、均衡の空間的な対称性は経済の空間の基本的要素のそれから派生する。我々の得た結果は、いくつかの例によって示される。とりわけ、円周経済における複数均衡の出現は、この問題における凸性の欠如として解釈される。

We extend Beckmann's spatial model of social interactions to the case of a two-dimensional spatial economy involving a large class of utility functions, accessing costs, and space-dependent amenities. We show that spatial equilibria derive from a potential functional. By proving the existence of a minimiser of the functional, we obtain that of spatial equilibrium. Under mild conditions on the primitives of the economy, the functional is shown to satisfy displacement convexity, a concept used in the theory of optimal transportation. This provides a variational characterisation of spatial equilibria. Moreover, the strict displacement convexity of the functional ensures the uniqueness of spatial equilibrium. Also, the spatial symmetry of equilibrium is derived from that of the spatial primitives of the economy. Several examples illustrate the scope of our results. In particular, the emergence of multiplicity of equilibria in the circular economy is interpreted as a lack of convexity of the problem.